科学是研究事物性质的。事物的性质又是从比较、对比中才得到界定和认识。比较、对比的结果无非是事物的异同，即它们的不同方面和相同方面。人对事物的所有知识，分解到最基本的判断，就是相同或不同。因此，事物的性质分成两类：
一、相异性或不可替代性，即一个事物不同于其它事物的性质。这主要表现为&ldquo是非&rdquo或&ldquo有无&rdquo的判断：它是什么，不是什么；它有什么特征，没有什么特征。物理、化学、生物、社会均侧重于这种相异性的研究。例如一种物质（或社会）形态不同于其它物质（或社会）形态的性质特征：石墨与金刚石具有怎样不同的晶体结构和物理属性；氧化与还原基于怎样不同的变化机理；细菌和病毒有着怎样不同的遗传基因；诸如此类。这是一个个极其广阔的知识领域。
二、相同性，即不同事物进行比较和对应时所呈现出的可替换性和不变性。这主要表现为‘关系’与&ldquo分类&rdquo的描述。说到底，千差万别的事物所共同具有的不变性就只有它们的&ldquo存在形式&rdquo。所研究的事物是什么（不是什么）不要紧，只要它们的存在可以相互替换，便看作是一样的。例如两个苹果和两头牛的存在形式就是两个&ldquo盒子&rdquo，其中放什么东西不重要，它们可以互相对应，互相替换；抽去具体的内容和内在的差别之后，剩下来的就是相同的形式外壳－－两个元素。在科学领域中，研究作为事物相同性（不变性）特征的&ldquo存在形式&rdquo的学科，就是数学。或者这样说，数学的研究对象是事物的存在形式。这里&ldquo存在形式&rdquo的含义，是借用哲学上所说的：时间和空间是物质&ldquo存在&rdquo的基本&ldquo形式&rdquo。
事实上，数学的创造思维，包括许多重大的数学发现，往往是把意想不到的两个对象看作是一样的：欧拉把哥尼斯堡的七桥问题与点线图形的&ldquo一笔画&rdquo看成是一样的；牛顿把行星体系与椭圆轨道上运动的几个质点看作是一样的；爱因斯坦把引力场与一个加速运动系统看成是一样的；更多的学者把一个物理系统与一组微分方程看作是一样的。广泛应用的数学模型方法，都是基于这种相同性：现象与模型的等同。而各种数学理论也确实是从&ldquo相同&rdquo、&ldquo相等&rdquo、&ldquo等价&rdquo概念开始的。有了相等，才有不等，才有大小、比较和运算。初等数学最基本的规则是等量公理、合同公理，然后是表示相等关系的恒等式和方程式。平面几何的第一个定理是全等三角形经过移动可以重合，然后才有形形色色的相等性命题。高等数学建立在更复杂的等价概念之上：同构、同胚、同态、同调、等距、等势、相似、合同、共轭、共形、保序、保角以及各式各样的不变性。几何学分类的爱尔朗根纲领，按照不同变换（包括正交变换、仿射变换、射影变换和连续变换）下的不变性或等价性，确定出度量性质、仿射性质、射影性质和拓扑性质。随着抽象程度不同，人们把不同范围的对象看作是相同的。正是这些&ldquo相同性&rdquo的不同含义，界定了不同数学学科的研究范围。数学的本质是描写不同范围、不同层次的相同与不变。难怪彭加莱要说，数学是一门给不同事物以相同名字的艺术。
